Периметр равнобедренного треугольника равен 84 см, а боковая сторона в 1,5 раза больше
основания. Найдите основание треугольника.
​

исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х²  и построить ее график.

решение:

1. область определения функции - вся числовая ось.

2. функция f (x) =  -x⁴+4х²  непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.

3. четность, нечетность, периодичность:

f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x²  = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)

функция   является четной. функция непериодическая.

4. точки пересечения с осями координат:

ox: y=0,  -x⁴+4x²=0,  -x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. значит (0; 0), (-2; 0) и (2; 0)- точки пересечения с осью ox.

oy: x = 0 ⇒ y = 0. значит (0; 0) - точка пересечения с осью oy.

5. промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2  критические точки.

промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. экстремумы функции занесены в таблицу.

  х =               -1.5    -1.41    -1    -0.5      0   0.5      1    1.41       1.5

y '=-4x³+8x    1.5        0       -4      -3.5   0      3.5        4      0        -1.5

в точках х = -√2 и х =  √2  производная меняет знак с + на - это максимум,

в точке х = 0  производная меняет знак с - на + это минимум.

    7.

вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8  = 0,-4(3x²-2)  = 0.

x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5

y''=-12x²+8      -19      0      -4       -4     0     -19

отсюда имеем 2 точки перегиба:

х₁ =  √(2/3),

х₂ = -√(2/3).

8. промежутки выпуклости и точки перегиба:

направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.

x=                  -1      -0.817  -0.5      0.5      0.817     1

y''=-12x²+8     -4        0            5        5             0       -4.

функция  вогнутая на промежутках

[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]

выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(2/3)] u [sqrt(2/3), oo)

9. график функции в приложении.

подробнее - на -