Регистрация Спросить otvet5GPT
кирилл2124
05.07.2022 21:31
Математика
Есть ответ 👍

Завод за 1 минуту производит 3 литра белой краски и 2 литра пурпурной краски, а других красок он не производит. Чтобы получить 21 литр лиловой краски, надо смешать 9 литров белой краски и 12 литров пурпурной. Сколько часов надо работать заводу, чтобы произвести продукцию, достаточную для получения 210 литров лиловой краски?

157
482
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

villa2003
villa2003
4,8(14 оценок)

Частное решение дифференциального уравнения:

\boldsymbol{\boxed{y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}}}

Примечание:

L \ - преобразование Лапласа

Функция y зависит от x.

Прямое преобразование Лапласа (связь между оригиналами и изображениями):

x \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{1}{p^{2}}

По свойствам преобразования Лапласа:

Если f(x) \xrightarrow{ \ L \ } F(p), то  \alpha f(x) \xrightarrow{ \ L \ } \alpha F(p)

Пошаговое объяснение:

y'' + 4y' = 4x; y(0) = 0; y'(0) = 1

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом операционного исчисления, а именно преобразованием Лапласа:

y \xrightarrow{ \ L \ } F(p)

Дифференцирования оригинала:

y' \xrightarrow{ \ L \ } pF(p) - y(0) = pF(p) - 0 = pF(p)

y'' \xrightarrow{ \ L \ } p^{2}F(p) - p\cdot y(0) - y'(0) = p^{2}F(p) - p \cdot 0 - 1 = p^{2}F(p) - 1

p^{2}F(p) - 1 + 4pF(p) = \dfrac{4}{p^{2}}

p^{2}F(p) + 4pF(p) - 1 = \dfrac{4}{p^{2}}

(p^{2} + 4p)F(p) = \dfrac{4}{p^{2}} + 1 \Longrightarrow F(p) = \dfrac{\dfrac{4}{p^{2}} + 1}{p^{2} + 4p} = \dfrac{\dfrac{p^{2} + 4}{p^{2}} }{\dfrac{p(p + 4)}{1} } = \dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)}

Раскладываем дробь на простейшие:

\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{A}{p^{3}} + \dfrac{B}{p^{2}} + \dfrac{C}{p} + \dfrac{D}{ p + 4} = \dfrac{A(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp^{2}(p + 4) + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{Ap + 4A + Bp^{2} + 4Bp + Cp^{3} + 4Cp^{2} + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{Cp^{3} + Dp^{3} + Bp^{2}+ 4Cp^{2} +Ap +4Bp + 4A}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{p^{3}(C + D) + p^{2}(B+ 4C) +p(A +4B) + 4A}{p^{3}(p + 4)}=

\left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ A + 4B = 0\\ 4A = 4|:4\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ 1 + 4B = 0\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B \\ 4B = -1|:4\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B|:4 \\ B = -0,25\\ A = 1\end{array} \right

\displaystyle \left \{ {{C = \dfrac{1 - B}{4} = \dfrac{1 + 0,25}{4} = \dfrac{1,25}{4} = 0,3125 } \atop {D = -C = -0,3125}} \right.

\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{0,25}{p^{2}} + \dfrac{0,3125 }{p} - \dfrac{0,3125 }{ p + 4} =

=\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}

Таким образом F(p) =\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}

Выполним обратное преобразование Лапласа:

F(p) \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } y

\dfrac{1}{p^{3}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } \dfrac{x^{2} }{2}

\dfrac{1}{p^{2}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } x

\dfrac{1}{p} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } 1

\dfrac{1}{p + 4} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } e^{-4x}

Тогда исходная функция равна:

y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}


Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х Початкові у

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS