сочч и самый лучшии ответы ​

230 все

решение :  

в трапеции abcd с основаниями ad и bc биссектриса угла а пересекает  

боковую сторону cd в точке е.  

найти площадь треугольника аве если ad=2bc ad=ab а площадь трапеции  

равна 18см^2    

выполним следующие дополнительные построения:  

1) проведем диагональ трапеции через точки b и d,  

  обозначим точку пересечения этой диагонали с биссектрисой  

  как m  

2) продолжим биссектрису за точку e до пересечения  

  с продолжением основания вс вправо за точку c;  

  пусть точка пересечения n  

обозначим длину bc за x, а высоту трапеции за h.  

тогда площадь трапеции есть h * (x + 2x) / 2 = 18,  

отсюда h * x = 12 (этот факт нам пригодится в дальнейшем)  

очевидно, что bm = md (из равенства треугольников abm и adm  

по двум сторонам и углу между ними) .  

отсюда следует, что средняя линия треугольника abd  

проходит через точку m и равна половине ad, то есть x.  

эта же средняя линия есть и средняя линия трапеции.  

обозначим пересечение средней линии трапеции со стороной ab точкой p,  

а со стороной cd точкой q.  

в свою очередь, средняя линия треугольника abd равна средней  

линии треугольника abn, откуда следует, что bn равно 2x.  

теперь обратимся к площадям треугольников. искомая площадь  

треугольника abe равна площади треугольника abn за вычетом  

площади треугольника bne.  

очевидно, площадь треугольника abn равна (h * 2x) / 2 = h * x  

обратим внимание на подобные треугольники cen и qem.  

так как средняя линия pq трапеции равна (x + 2x) / 2 = 3/2 * x,  

а средняя линия треугольника abd равна x, то длина mq = pq - pm = x / 2  

очевидно, что длина cn = bn - bc = 2x - x = x, то есть коэффициент подобия  

трегольников равен 2 (или, если угодно, 1/2).  

отсюда следует, что высота треугольника cen в 2 раза больше высоты  

треугольника qem (рассматриваются высоты, проведенные из точки e).  

а кроме того, сумма этих двух высот составляет половину высоты трапеции h.  

обозначая высоту треугольника qem за h, имеем очевидное уравнение:  

h + 2h = h / 2, 3h = h / 2, h = h / 6, 2h = h / 3.  

теперь у нас есть все, чтобы определиться с площадью треугольника bne.  

его основание bn равно 2x, высота равна 2h = h / 3. следовательно,  

его площадь равна (h / 3) * 2x / 2 =   (h * x) / 3.  

итак, площадь треугольника abe = h * x - (h * x) / 3 = 2/3 *(h * x).  

вспоминаем наш факт, что h * x = 12 и получаем окончательный ответ  

(если к этому моменту еще не заснули от объяснений) :  

площадь треугольника abe равна 2/3 * 12 = 8