1.Даны точки А(2;1;-4),В(4;0;-2) , С (0;-3;-0) Вычислите угол между векторами АВ и АС
2. Запишите уравнение плоскости проходящей через точку А(1;2;3) и вектор
нормали n(2;1;4)
3. Составьте уравнение прямой проходящей через точки А(-2;0;2) В(4;1;2)
4.По уравнению сферы определите координаты центра сферы и радиус
(х-3) 2 +(у+6) 2 +z 2 =64

ответ: S=96

Объяснение: обозначим вершины параллелограмма А В С Д, а его высоты ВН1 и ВН2. Пусть одна его стороны АВ=СД=а, вторые ВС=АД=b. Зная, что площадь параллелограмма - это произведение его стороны и высоты, которая проведена к стороне, составим уравнение согласно формуле площади:

S=b×BH1. Так как площадь будет одинаковой независимо от того какой вариант мы выберем, то:

b×BH1=a×ВН2

4b=12√3a

b=12√3a/4

b=3√3a

Высота ВН1 образует прямой угол 90° также со стороной ВС, поэтому

угол СВН=90-60=30°. Рассмотрим полученный ∆СВН2. Он прямоугольный где ВН2 и СН2 -катеты, а ВС- гипотенуза. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол С=90-30=60° . В параллелограмме противоположные углы между собой равны, поэтому

угол А=углу С=60°. Рассмотрим полученный ∆ АВН1. Он прямоугольный, где АН1 и ВН1 катеты, а АВ - гипотенуза. Угол АВН=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому АН=а/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²-АН1²=ВН1²

а²-а²/2²=4²

а²-а²/4=16. Здесь ищем общий знаменатель и получаем:

(4а²-а²)/4=16

3а²/4=16

3а²=4×16

3а²=64

а²=64/3

а=√64/3

а=8/√3

Если сторона а=8/√3, тогда

сторона b=8/√3×3√3=24

Теперь найдём площадь параллелограмма, зная его стороны:

S1=8/√3×12√3=96

S2=24×4=96