за полное решение вариан 1

10

Объяснение:

Проведем прямую BC и MN до точки пересечения (они обе лежат в плоскости ромба ABCD). Точку пересечения обозначим O.

Теперь проведем прямую OK, она пересечет прямую BP в некоторой точке S.

Рассмотрим треугольники DMN и CMO. В них углы DMN и CMO - вертикальные, поэтому равны, CM = MD по условию, углы MND и MOC - накрест лежащие при параллельных прямых, а значит тоже равны.

Треугольники DMN и CMO равны по двум углам и стороне, а значит CO = DN = AB/2 = 8/2 = 4.

Треугольник KCO - прямоугольный с прямым углом C и катетами CK = 3, CO = 4 - египетский треугольник, KO = 5.

Рассмотрим треугольники BOS и COK, BS параллельна CK, треугольники подобны, коэффициент подобия:

BO/CO = (8+4)/4 = 3

Тогда:

BS = CK*3 = 3*3 = 9

BS = BP следовательно точка пересечения прямой OK с прямой BP (S) совпадает с точкой P.

OP = OK*3 = 15

KP = OP-OK = 15-5 = 10