Объясните причину гражданской войны и как она повлияла на аболиционистский процесс в Соединенных Штатах? *

координатный метод. 

(*** некоторые результаты, вроде того, что угол cad=  30°; -   я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).

начало координат в точке а, ось x вдоль ad, ось y в плоскости основания перпендикулярно ad, ось z - вдоль аа1. еще я обозначу r = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). кроме того, пусть к - проекция точки n на ad.

плоскость na1d пересекает ось х в точке (4, 0, 0) и ось z в точке (0, 0, 4). 

кроме этого, она проходит через точку n. 

координаты точки n (nx, ny, 0); ny = nk равно половине высоты трапеции abcd,

то есть ny = (r*√3/2)/2 =  √3/2; отсюда nx = ак = 3/2; (потому что угол cad равен 30°; ) 

чтобы построить уравнение плоскости na1d, лучше всего найти координаты точки q (0, q, 0), в которой прямая dn пересекает ось y. это проще, чем высчитывать определитель, уравнение плоскости через координаты точек a1, d и n. 

треугольники qad и nkd подобны, поэтому 

aq/ad = nk/kd; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;

то есть координаты точки q (0, 4√3/5, 0);  

уравнение плоскости a1qd ( она же - плоскость na1d) теперь записывается автоматически

x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;

(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость.)

(примечание. все предыдущие манипуляции преследовали только одну цель - найти, какой отрезок плоскость отсекает на оси y.   в общем случае, если известно, что какая-то плоскость отсекает на осях - считая от начала координат, ориентированные отрезки a, b, c - то есть проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости записывается сразу x/a + y/b + z/c = 1). 

это уравненние можно записать в виде скалярного произведения  rp=1;  

r  = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от а до точки плоскости).

p  = (1/4, 5/4√3, 1/4);  

теперь задается вопрос "при каком  r  его длина минимальна? ".

в такой постановке сразу ясно, что  r  коллинеарен (параллелен, пропорционален)  p, поскольку при любом другом положении  r  его длина больше - так как косинус угла между  r  и  p  будет меньше 1).

в этом случае rp=1; (абсолютные величины! ) и r = 1/p;

то есть для получения ответа осталось вычислить p = ipi;

p =  √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) =  √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.

проверяйте, может я в числах где ошибся.  

это копия моего решения вот отсюда  я и тогда не был уверен в числах, и сейчас : )