Докожите, что стороны равнестороннего треугольника касаются окружностей, проведённых с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его бисектрис

1) в трапеции abcd с основаниями ad=8 см, bc=3 см, точка к - середина ad.

диагональ ac (здесь была опечатка fc)   пересекается с bk в точке м. найти отношение bm к mk.

решение

сделаем построение по условию

ac -диагональ

треугольники  bmc  ~ amk - подобные по двум углам (признак подобия)

< bmc ,   < amk  -вертикальные  (равны)

< сbm ,   < aкm  -скрещивающиеся (равны)

ак = ad/2=8/2 = 4см

коэффициент подобия треугольников  k=bc: ak= 3: 4

соответствующие стороны треугольников  имеют такое же отношение

bm : mk = bc: ak= 3: 4

ответ  bm : mk = 3: 4

2) в параллелограмме abcd биссектриса острого угла bad пересекает вс в точке к,

а продолжение cd - в точке f, cf относится к fd как 2 к 5.

найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 64 см.

решение

сделаем построение по условию

< bak = < kad - ak -биссектриса   острого угла  bad

< kad  = < fkc - соответственные

< fck  = < fda - соответственные

< fkc = < akb  - вертикальные

< bak = < kfc - накрестлежащие

cf : fd = 2 : 5  - по условию, тогда cf : сd = 2 : 3 - из первого отношения

треугольник  авк - равнобедренный  < bak = < вка -углы при основании

пусть ав=х , тогда вк=х

треугольники  fkc  ~ abk - подобные по двум углам (признак подобия)

коэффициент подобия треугольников  k= cf : ab =cf : cd = 2 : 3

тогда  ск : вк = cf : ab = 2 : 3  <   bk=x

тогда ск : х = 2 : 3    ;   ck =2x/3

тогда  bc =bk + ck = x + 2x/3 = 5x/3

имеем  две стороны    в параллелограмме

ab=x  ; bc =5x/3

формула периметра    p=  2* (ab+bc) = 2* (x +5x/3)=2*8x/3 =16x/3

по условию  p=64 см  , тогда    64 =16x/3  ;  

x = 12 см  - одна сторона

5x/3 = 5*12 /3 = 20 см  -вторая сторона

ответ    12 см ; 20 см