Две окружности касаются друг друга в точке к . продолжение хорды ав первой окружности касается второй окружности в точке м . найдите ак , если вк = 12 , ам = 24 , вм = 18 .

как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте.

см чертеж.

прямая кn перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. само собой, это общая касательная в точке к.

в данном случае подобны треугольники kbn и akn - у них есть общий угол kna, а углы kab и bkn измеряются половиной дуги кв, то есть тоже равны.

ак/kb = kn/nb = an/kn;

кроме того, kn = nm по свойству касательной. вобщем то уже все решено, осталось вычислить.

обозначим для краткости записи ак = а; kn = mn = x; bn = y;

учтем, что кв = 12; mb = x + y = 18; an = 24 - 18 + y = 6 + y;

получаем

a/12 = x/y = (6 + y)/x; x + y = 18;

подставляем y = 18 - x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а : )

x/(18 - x) = (24 - x)/x; это даже не квадратное уравнение, получаем

24*18 = (24 + 18)*x; x = 72/7;

a/12 = (24 - x)/x = (24/x - 1) = 7/3 - 1 = 4/3;

a = 16;