Найдите наибольшее значение площади ромба, если сумма его диагоналей равна 24 см

пусть одна диагональ равна 2х, другая - 2у, тогда 2х+2у=24 и х+у-12, откуда у=12-х.

диагонали ромба пересекаются под прямым углом, таким образом, площадь ромба состоит из 4-х прямоугольны треугольников с катетами х и у, т.е. площадь ромба s=4*0.5xy=2xy.

подставим сюда у=12-х и получим s=24x-2x^2.

найдём максимум этой функции. s'= 24-4x.

стационарная точка: 24-4х=0 х=6

при х=7 s'< 0; при х=5 s'> 0, следовательно при х=5 имеем максимум s.

у=12-х=12-6=6.

тогда smax=2*6*6=72.

интересно, что получился квадрат с диагоналями, равными 12.

пусть одна диагональ х(х> 0), тогда вторая 24-х, s=d1*d2/2

s=x*(24-x)

рассмотрим функцию f(x)=24x-x^2

найдем производную, она равна 24-2х

найдем критическую точку 24-2х=0, х=12

при x> 12 производная 24-2x< 0

при0< x< 12 производная 24-2х> 0

при переходе через точку х=12 знак производной меняется с плюса на минус, значит это точка максимума

s=12*12/2=72

ответ: x=π/2, x=π/6, x=5*π/6.

объяснение:

полагая sin(x)=t, получаем квадратное уравнение 2*t²-3*t+1=0. оно имеет решения t1=1 и t2=1/2. отсюда sin(x)=1 либо sin(x)=1/2. первое уравнение имеет решения x=π/2+2*π*k, где k∈z. но на интервале [0; π] имеется единственное решение x=π/2. второе уравнение имеет решения x=(-1)ⁿ*π/6+π*n, где n∈z. но на интервале [0; π] имеются лишь два решения: x=π/6 и x=5*π/6.