Точка касания окружности вписанной в ромб делит его сторону на 9 см и 16 см. найдите диагонали ромба.

смотрите, центр окружности находится в точке пересечения диагоналей, которые к тому же взаимно перпендикулярны. если из центра в точку касания провести радиус, то это будет высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной (как гипотенузой). высота делит прямоугольный треугольник на 2 подобных ему же. поэтому

9/r = r/16; r - радиус вписанной окружности.

r = 12;

уже сейчас можно все сделать "как положено", то есть сосчитать половинки диагоналей по теореме пифагора, то есть половинка малой будет

d1/2 = корень(9^2 + 12^2); а половинка большой

d2/2 = корень(16^2 + 12^2);

я однако так делать не буду, а сразу скажу, что треугольники подобны пифагоровому со сторонами (3 4 5), то есть d1/2 = 15, d2/2 = 20; это на самом деле то же самое, просто более удобный способ счета. : )

d1 = 30; d2 = 40;  

высота ромба равна h = 2r

опустим высоту из точки касания окружности  в верхней стороне, в нижнюю..

с левой части получается прямоугольная трапеция, с боковой стороной 25, и двумя основаниями 16, 9..найдем высоту ромба она же и высота трапеции, она равна 625 - 49 = 576 = 24, r = h/2 = 12 см

проведем диагонали ромба, они взаимно перпендикулярны, это намного облегчается , опустим высоту ромба, она пройдем через точку пересечения диагоналей..получается 2 маленьких прямоугольных треугольника..с катетом 9 и радиусом 12 , х = 144+81 = 225 = 15

х = половина меньшей диагонали, вся диагональ равна = 30

теперь..вторая диагональ равна = х = 625 - 225 = 400 = 20 см - это половина другой диагонали, значит вся равна = 40 см

итого: 1-я = 30см, 2-я = 40 см

..могу потом на рисунке показать что к чему!