Вконус вписана пирамида. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол 45°. найдите объем конуса.

в конус вписана пирамида. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол 45°. найдите объем конуса.

v=s•h: 3

для ответа на вопрос нужно найти радиус основания конуса и его высоту ( она равна высоте вписанной пирамиды).

основание пирамиды - прямоугольный треугольник. следовательно, радиус основания конуса, как описанной окружности,   равен половине гипотенузы вписанного треугольника. 

пусть это ∆ авс,    ∠с=90º,  ∠а=30º;   ас=2а

гипотенуза ав=ас: cos 30º=4a/√3

тогда r=ао=во=ос=2a/√3

катет  вс=2a/√3 как противолежащий углу 30º

угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами, проведенными к о и м из точки к катета ас (мк - наклонная, ок - ее проекция, мк и ок перпендикулярны ас по т. о трех перпендикулярах). к - середина основания ас  равнобедренного ∆ аос 

т.к. угол ока=90º, ок|| вс и является средней линией ∆ авс и равна половине вс. 

ок=вс: 2=а/√3 

высота пирамиды мо перпендикулярна плоскости основания, угол мко=45º   по условию, и ∆ мок - равнобедренный. мо=ок=а/√3

s осн. конуса=πr²=4π•a²/3 

v=[(4π•а²/3)•a/√3]: 3=4π•a³/√3 (ед. объема) 

1способ-если продолжишь одну сторону угла за вершину, получишь развернутый угол 180 градусов. чертишь полуокружность, и по большой дуге откладываешь еще 2 таких угла. останется угол 18 градусов (18=180-3*54) 2-достраиваешь до прямого угла там получится 36 градусов и в этом углу проводишь биссектрису