Найти экстремумы функции (лок.мин и лок.макс) y=cosx+1/2*cos2x [0; 2п]

ищем производную заданной функции:

y'=-sinx-sin2x=-sinx-2sinx*cosx=-sinx(1+2cosx)=0

отсюда находим критические точки (сразу выбираем те, которые принадлежат отрезку [0; 2*pi]):

sinx=0

х=0, x=pi, x=2*pi

1+2cosx=0

x=(2*pi)/3, x=(4*pi)/3.

все найденные точки изображаем на числовой оси и ищем промежутки возрастания (где производная больше нуля) и убывания (где меньше) функции.

(рисуйте числовую ось и размещайте точки в таком порядке: 0, (2*pi)/3), pi, (4*pi)/3, 2*pi)

берите любую внутреннюю точку из промежутка и подставляйте в выражение для производной. если получится больше нуля, то там функция возрастает и.т.д.если на соседних промежутках производная имеет разные знаки, там есть локальный экстремум(если "-" "+" - локальный минимум, если наоборот - локальный максимум)

значит в точках х=0, x=pi, x=2*pi-функция имеет локальный максимум

                    в точках x=(2*pi)/3, x=(4*pi)/3-локальный минимум.

ура!