Решить докажите, что четырехугольник с вершинами в точках a(-3; -3), b(-4; 4), c(3; 5), d(4; -2) является прямоугольником.

Для начала можно для себя отобразить эти точки в ортонормированной системе координат и посмотреть, как будет выглядеть этот четырехугольник. его стороны - векторы  ab, bc, cd  и  da.  (векторы будем записывать курсивом) найдем координаты этих векторов. напомню, как находят координаты вектора: если у нас есть точки a(x₁;   y₁) и b(x₂;   y₂), то координаты вектора находят следующим образом:   ab = (x₂ - x₁; y₂ - y₁). (1). в нашем случае: a(-3; -3); b(-4; 4), значит, согласно формуле (1), координаты вектора  ab = (-4 - (-3); 4 - (-3)) = (-1; 7). для остальных векторов я вычисления так подробно записывать не буду, запишу лишь результат. если вы захотите проверить, верны ли мои вычисления, вы можете проверить это с формулы (1), как видите, это несложно. bc =  (7; 1); cd  = (1; -7); da  = (-7; -1). напомню признак коллинеарности двух векторов: если  ab  = (x₁; y₁),  cd =  (x₂; y₂) и при этом выполняется равенство (x₁/x₂)  = (y₁/y₂), то  ab || cd  (ab  коллинеарен  cd). исследуем на коллинеарность наши векторы  ab = (-1; 7)  и  cd =  (1; -7):                           (-1/1) = (7/-7);                               -1     =   -1. равенство выполняется, значит,  ab || cd. аналогично исследуем на коллинеарность векторы  bc  и  da.теперь найдем длины этих векторов. если  ab =  (x, y), то его длину можно найти так: |ab| =  sqrt(x² + y²). |ab| =  )² + 7²) =  √50; |bc| =  sqrt(7² + 1²) =  √50; |cd| =  √50; |da| =  √50. выходит, что в нашем четырехугольнике стороны попарно равны и параллельны, более того - все стороны равны. отсюда следует, что наш четырехугольник ни что иное, как ромб. осталось лишь доказать, что углы, образуемые векторами, прямые. можно сделать это по-разному, можно найти скалярное произведение векторов, образующих углы, можно воспользоваться методом для извращенцев - найти длину вектора  ac  и убедиться с теоремы пифагора, что  δabc - прямоугольный. рассмотрю оба способа: 1) напомню, как находят скалярное произведение:   ab =  (x₁; y₁),  cd =  (x₂; y₂);   (ab, cd) =  x₁x₂ + y₁y₂. (2)     найдем скалярное произведение наших векторов  ab  и  bc  с формулы (2):   (ab, bc) = (-1)*7 + 7*1 = 0 - это говорит о том, что векторы перпендикулярны, т.к скалярное произведение можно записать так: (ab, bc) = |ab| * |bc| *  cos(ab^bc). если скалярное произведение равно нулю, то это значит, что либо одна из длин векторов равна нулю, либо косинус угла между векторами равен нулю. в  нашем случае длины векторов не равны нулю  ⇒ cos (ab^bc) = 0  ⇒ (ab^bc) =  90°.   для остальных пар векторов делаете аналогично. 2) найдем длину вектора  ac  -   |ac| =  √100.     проверим, является ли  δabc прямоугольным с теоремы пифагора:                       (√100)² = (√50)² + (√50)²;                         100   =   50 + 50  ⇒  δabc - прямоугольный, прямой угол лежит против большей стороны.     для остальных углов можно это проверить аналогично.     в итоге получается, что наш четырехугольник не только прямоугольник, но и квадрат. фух, всё.                      

в треугольнике авс r=ас/2sinb  ⇒ ac=2r·sinb=2·6·√3/2=6√3 см.

∠а+∠с=180-∠в=180-60=120°.

в тр-ке аос  ∠оас+∠оса=(∠а+∠с)/2=120/2=60° (так как ао и со биссектрисы).

∠аос=180-(∠оас+∠оса)=180-60=120°.

радиус описанной окружности около тр-ка аос:

r₁=ac/2sin∠аос=6√3·2/(2·√3)=6 см - это ответ.

таким образом, радиусы описанных окружностей треугольников авс и аос равны, но центры окружностей лежат в разных точках.