Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция.площадь четырехугольника,вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции равна 12.найти площадь трапеции

смотрите, в этом 4 угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. а половина - 2. значит sin(ф) =2/3. ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. легко увидеть, что ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны). а дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр делить на sin( она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника: умножаете на диаметр, решена. собрав все это получаем (2*r)^2/sin(ф) = 54.

это я перенес из сообщения, некоторые места я не объясняю, в надежде, что вы сами из объясните, это просто.

сделаем все построения

r= 3 радиус вписанной окружности

s=12  площадь четырехугольника

в четыреугольнике диагонали d1=2r=6 и d2 пересекаются под прямым углом а

площадь четырехугольника,вершинами которого являются точки касания окружности s=1/2*d1*d2*sin а =1/2* 6 *d2* sin 90= 3*d2 ; 12=3*d2 ; d2=4

для вычисления величины любого из углов произвольного треугольника используйте теорему косинусов. она гласит, что квадрат длины любой стороны (например, a) равен сумме квадратов длин двух других сторон (b и c), из которой вычтено произведение их же длин на косинус угла (α), лежащего в образуемой ими вершине. это значит, что вы можете выразить косинус через длины сторон: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*a*b). чтобы получить величину этого угла в градусах, к полученному выражению примените обратную косинусу функцию - арккосинус: α = arccos((b²+c²-a²)/(2*a* таким способом вы вычислите величину одного из углов - в данном случае того, который лежит напротив стороны а.

2

для вычисления двух оставшихся углов можно использовать ту же формулу, меняя в ней местами длины известных сторон. но более простое выражение с меньшим числом операций можно получить, задействовав другой постулат из области тригонометрии - теорему синусов. она утверждает, что отношение длины любой стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равны. это значит, что вы можете выразить, например, синус угла β, лежащего напротив стороны b через длину стороны c и уже рассчитанного угла α. умножьте длину b на синус α, а результат разделите на длину c: sin(β) = b*sin(α)/c. величину этого угла в градусах, как и в предыдущем шаге, рассчитайте с использованием обратной тригонометрической функции - на этот раз арксинуса: β = arcsin(b*sin(α)/c).

3

величину оставшегося угла (γ) можно вычислить по любой из полученных в предыдущих шагах формул, поменяв в них местами длины сторон. но проще задействовать еще одну теорему - о сумме углов в треугольнике. она утверждает, что эта сумма всегда равна 180°. так как два из трех углов вам уже известны, просто отнимите от 180° их величины, чтобы получить величину третьего: γ = 180°-α-β.

то есть углы будут равны

30

94

56