Нужно узнать, на какую цифру оканчивается число: 12(2003) + 26(2003) + 38(2003). цифра 2003 в скобках - это степень. в требовалось найти два варианта решения. один мне известен - используя закономерности возведения в степень,
найти цикл и узнать последнюю цифру каждого слагаемого, затем сложить. а вот как решить вторым способом, совершенно не представляю. в интернете ничего не нашел.

обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m , т.е. числа n и m эквивалентны  по модулю 10.

n = 12^2003 + 26^2003 + 38^2003 ~ 2^2003 + 6^2003 + 8^2003 = 2^2003 + (2^2003)(3^2003) + (2^2003)(2^2003)(2^2003) = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003))

составим таблицу 2^n:

n                              значение        последняя цифра

=====================================

0                              2^0 = 1              1

1                              2^1 = 2                2

2                              2^2 = 4                4

3                              2^3 = 8              8

4                              2^4 = 16          6

5                              2^5 = 32          2

6                              2^6 = 64          4

7                              2^7 = 128      8

8                              2^8 = 256      6

из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. период равен 4.

последняя цифра числа 2^n равна:

1: n = 0

4: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,

8: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,

6: n = 4k, где k = 1,2,

отсюда находим, что 2^2003 = (2^2000)*(2^3) = (2^(500*4))*(2^3) ~ 6*8 = 48 ~ 8

составим таблицу 3^n:

n                              значение        последняя цифра

=============================

0                              3^0 = 1                1

1                              3^1 = 3              3

2                              3^2 = 9              9

3                              3^3 = 27          7

4                              3^4 = 81          1

5                              3^5 = 243      3

6                              3^6 = 729      9

7                              3^7 = 2187  7

8                              3^8 = 6561  1

из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. период равен 4.

последняя цифра числа 3^n равна:

1: n = 4k, где k = 0,1,2,

3: n = 4k + 1, где k = 0,1,2,

9: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,

7: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,

находим, что 3^2003 = (3^2000)*(3^3) = (3^(500*4))*(3^3) ~ 1*7 = 7

итак, n = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003)) ~ 8(1 + 7 + 8*8) = 8 + 8*7 + 8*8*8 =  8 +  56 + 512 ~ 8 + 6 + 2 = 16 ~ 6

ответ: последней цифрой нашего числа будет 6.

замечание: разница между предложенным вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.