Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3 градуса потом на 9 градусов, на 27 градусов, и т.д. (на n-м шаге его поворачивают на 3 в степени n градусов). сколько всего разных положений будет
занимать треугольник? (а) 360, (б) 6, (в) 5, (г) 4, (д) 3.

составим следующую таблицу:

степень n    угол поворота α = 3^n (mod 360)

1                                3

2                                9

3                                27

4                                81

5                                243

6                                9

7                                27

8                                81

9                                243

10                            9

11                            27

12                            81

13                            243

14                            9

легко заметить, что значения α периодичны начиная с n = 2. период длины 4 состоит из повторяющихся значений (9,27,81,243). периодичность α можно доказать и строго (например, методом индукции).

таким образом, мы имеем всего 5 различных значений для угла поворота α: 3,9,27,81,243

равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах относительно центра на угол β = ω + 120k, где k=1,2,3, такие повороты β неотличимы от ω, и должны считаться одинаковыми.

проверяем и убеждаемся, что 5 различных значений α есть два (а именно, 3 и 243 = 120*2 + 3), которые должны считаться одинаковыми. оставим из этих двух значений одно (а именно, 3).

итак, у нас остается всего 4 различных значений α: 3,9,27,81

следовательно, наши  4 значения для угла поворота α переводят равносторонний треугольник в различные положения.

ответ: (г) 4.