Лётчик рейса волгоград-москва поднялся на высоту 2км. каково атмосферное давление воздуха на этой высоте,если у поверхности земли оно равнялось 750 мм рт.ст.?

1) Проще решить эту задачу, представив векторы в координатной форме.

Пусть вектор p по оси Ох, его координаты p(2; 0).

Вектор q повёрнут от вектора р на угол ϕ = (π/3) = 60 градусов.

q(x) = |q|*cos ϕ = 1*(1/2) = 1/2.

q(y) = |q|*sin ϕ = 1*(√3/2) = √3/2.

Далее определяем координаты векторов a и b.

a(x) = p(x) + q(x) = 2 + (1/2) = (5/2).

a(y) = p(y) + q(y) = 0 + (√3/2) = (√3/2).

Вектор a((5/2); (√3/2)), |a| = √((25/4) + (3/4)) = √(28/4) = √7.

Аналогично для вектора b.

b(x) = p(x) - 2q(x) = 2 – 2*(1/2) = 1.

b(y) = p(y) - 2q(y) = 0 - 2(√3/2) = -√3.

Вектор b(1; (-√3)), |b| = √(1 + 3) = √4 = 2.

Теперь определяем координаты векторов как диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b.

d1 = a + b = ((5/2) + 1; (√3/2) + (-√3)) = ((7/2); (-√3/2)).

d1 = a - b = ((5/2) - 1; (√3/2) – (-√3)) = ((3/2); (3√3/2)).

Находим модули этих векторов, то есть их длины.

|d1| = √((7/2)² + (-√3/2)²) = √((49/4) + (3/4)) = √(52/4) = √13 ≈ 3,6056..

|d2| = √((3/2)² + (3√3/2)²) = √((9/4) + (27/4)) = √(36/4) = √9 = 3.

2) Косинус угла между векторами а и b определяем по формуле

cos ϕ = (a(x)*b(x) + a(y)*b(y))/(√((a(x))² + (b(x))²) * √((a(y))² + (b(y))²) =

        = ((5/2)*1 + (√3/2)* (-√3))/( (√((5/2)² + (√3/2)²)*√(1² + (-√3)²) =

        = ((5/2) – (3/2))/(√(25/4) + (3/4))*√(1 + 3) =

       = 1/(√7*2) = √7/14 ≈ 0,18898.

3) У этой задачи есть два решения.

а) Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна модулю векторного произведения этих векторов.

Находим векторное произведение по схеме Саррюса.

I          j        k|        I         j

5/2    √3/2    0|     5/2    √3/2    

1      -√3      0|      1        -√3  = 0i + 0j – (√3*5/2)k – 0j – 0i - (√3/2)k =

                                             = 0i + 0j - (3√3)k.

Вектор произведения равен (0; 0; (-3√3)).

Площадь S параллелограмма равна:

S = √(0² + 0² + (-3√3)²) = √27 = (3√3) кв. ед.

б) Площадь S параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на синус угла, который лежит между ними: S = |a|*|b|*sin ϕ.

Находим синус угла ϕ по формуле

sin ϕ = √(1 - cos² ϕ) =  √(1 – (√7/14)²) = √(1 – (7/196)) = √(189/196) = 3√21/14.

S = √7*2*3√21/14 = 3√3 кв. ед.