Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на единицу больше утроенного произведения этих цифр. при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. найдите это двузначное число

пусть к и р   - искомые цифры. тогда имеем из первого утверждения

k^2 + p^2 = 3*k*p + 1 

отсюда следует 2 равенства.

(k - p)^2 = k*p + 1;

(k + p)^2 = 5*k*p + 1;

поскольку к и р - цифры, то их сумма не превосходит 18.

далее. предположим, что обе цифры четные. сразу противоречие, так как квадрат разности будет четным, а левая часть первого равенства - нечетная. поэтому либо к и р, либо хотя бы одна из них - нечетная. 

представим k = 2*m+1; p = 2*n+1 и подставим в исходную форму первого утверждения. 

(2*m + 1)^2 + (2*n + 1)^2 = 3*(2*m+1)*(2*n+1) +1;

4*(m^2 + n^2 + m + n) = 3*4*m*n + 3*2*(m+n) +3; (единички сократились)

опять противоречие - слева четное, а справа нечетное.

поэтому цифры к и р - разной четности. это означает, что 5*к*р кратно 10, а выражение  5*к*р+1 заканчивается на 1. в промежутке от 2 до 18 есть только 2 числа, квадрат которых заканчивается на 1 - это 9 (квадрат 81) и 11 (квадрат 121). напоминаю,что  (k + p)^2 = 5*k*p + 1;   то есть  5*k*p + 1 - полный квадрат.

но число 81 не подходит, потому что 80 = 5*16, а 16 не имеет нечетных делителей. а цифры наши должны быть разной четности. с 121 лучше -

120 = 5*24, а 24 = 8*3, и это единственное представление в виде произведения нечетного и четного числа.

итак,у нас осталась пара цифр 3 и 8. из них можно составить числа 38 и 83. первое число противоречит второму условию  

10*к + р = 7*i + 6;  

зато 83 как раз ему удовлетворяет

83 = 7*11 +6.

ответ 83