Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. а) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,
вписанной в ее основание. б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. следовательно, двугранный угол при основании пирамиды равен линейному углу между высотой грани и ее проекцией на основание. эта проекция - отрезок, соединяющий точку о, в которую проецируется высота пирамиды на основание пирамиды. раз все двугранные углы равны, значит равны и эти отрезки и мы доказали пункт б). равенство этих проекций доказывает, что  точка о равноудалена от сторон треугольника. это значит, что точка о - центр вписанной окружности в основание треугольника, то есть доказан пункт а). найдем длину проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, или, как мы доказали, радиус вписанной в основание пирамиды окружности. в равнобедренном треугольнике авс bн - его высота, ан=нс=а/2. тогда ав=ан/cosα или ab=a/(2cosα). bh=ab*sinα или bh=a*sinα/(2cosα)=(а/2)*tgα. sabc=(1/2)*ac*bh или sabc=(а/2)*(а/2)*tgα=(а²/4)*tgα. есть формула площади треугольника: s=p*r, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности. тогда r=s/p или r=[(а²/4)*tgα]/p. p=2*ab+ac. или р=2*a/(2cosα)+а=a/cosα+а=а((1/cosα)+1)=(а*(1+cosα))/cosα. r=[(а²/4)*tgα]/[(а*(1+cosα))/cosα] или r=a*sinα/[4(1+cosα)]. ответ: r=a*sinα/[4(1+cosα)].

за 10 минут:

КN=5, т.к. ΔКТN- египетский.

КТ²=MT*TN⇒МТ=9/4=2.25; КТ=1.5; - по свойтсву высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

МК=√(МТ²+КТ²)=√(2.25+9)=√11.25 - по теореме Пифагора для прямоугольного ΔМКТ