Числа от 1 до 10 записаны в строчку в произвольном порядке. каждое из них сложим с номером места, на котором оно стоит. докажите, что хотя бы две суммы оканчиваются одной и той же цифрой.

решение

рассмотрим самый первый вариант:

числа

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 - сумма равняется 55 (число нечетное)

порядковые места

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 - сумма равняется 55 (число нечетное)

тогда сумма чисел и их порядковых мест равна 55+55=110 (число четное)

мы знаем, что если мы поменяем порядок чисел, то сумма останется прежней (55) (от перемены мест слагаемых и т. значит после сложения с суммой порядковых мест (55) общая сумма останется прежней (110) и числом четным. далее, мы знаем, что четное число можно получить сложением: а) двух четных чисел; б) двух нечетных чисел. сумма 110 у нас получается из сложения 10 чисел, а значит среди этих 10 чисел должно быть одинаковое количество четных чисел и одинаковое количество нечетных чисел (попарно). если не понятно поясняю: например числа оканчивающиеся на (1 и 3) - 1-я пара, (5 и 7) - 2-я пара, для (9) - пары нет, (0 и 2) - 3-я пара, (4 и 6) - 4-я пара, для (8) - пары нет. и по этому чтобы появилась 5-я пара чисел надо сложить пару из нечетных чисел или из четных (в нашем примере: 9 и 1 или 9 и 3 или 9 и 5 - видим что окончание на 1 может добавиться к такому же окончанию в первой паре, 3 тоже к первой паре и т.д. и для четных тоже). данный пример показывает, что могут быть две пары четных и две пары нечетных чисел и пятая пара четная или нечетная, но могут быть и другие комбинации например: одна пара четная и четыре пары нечетные. но в любом случае каких то чисел (четных или нечетных) будет больше пяти. а у нас чисел четных и нечетных  (имею ввиду оканчивающихся на 1, 2, ) ровно по пять штук. значит при любом раскладе, четных или нечетных чисел будет минимум шесть. т.е. среди этих шести чисел будут минимум два числа оканчивающиеся на одинаковую цифру.