24. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке М. Докажите, что площадь треугольника CMD в четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD.

В параллелограмме АВСD треугольники АВС и АСD равны по трем сторонам (АВ=СD и ВС=АD как стороны параллелограмма, а сторона АС - общая). Итак, Sabc=Sacd.

В треугольниках АВС и АСD ВМ и DМ - медианы (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам и АМ=МС).

Но медианы делят треугольники на два равновеликих. Значит, Samb=Smbc=Samd=Scmd (так как равные треугольники АВС и АСD делятся также на два равных).

Итак, площадь параллелограмма АВСD равна четырем площадям треугольника АМВ. Или, что одно и то же, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB.  Что и требовалось доказать.

если призма авсдд1с1в1а1 - то искомый угол - угол а1са, т.е. угол между диагональю призмы и диагональю её основания. (см. рисунок в приложении).

авсд - квадрат, ас=ав•sin45°=4√2

tg∠aca1=aa1: ac=4√6: 4√2=√3- это тангенс 60°