Освободитесь от иррациональности в знаменателе

Для начала представим число 129 в виде простых множителей: 129 = 43 × 3 пусть искомое число состоит из цифр a, b, c, т.е. число такое 100a + 10b + c. тогда сумма цифр этого числа равна (a + b + c). когда мы повторяем число 12 раз, то и сумма его цифр увеличится в 12 раз, т.е. 12 × (a + b + c). сумма цифр делится на 3! значит, какое бы мы трёхзначное число не взяли, повторив его 12, уже будет делиться на 3. пусть x = 100a + 10b + c искомое число, которое делится на 43, но не делится на 3. когда мы число x повторим 12 раз получим такое число: если число x будет делиться на 43, то и вся наша длинная конструкция будет делиться 43, ну а на 3 она делится из-за повторения 12 раз, что было доказано выше. в общем, надо подобрать наибольшее трёхзначное число, которое будет делиться на 43, но де будет делиться на 3, а значит не будет делиться и на 129. но после 12-кратного повторения этого числа, поученное 36 значное число будет делиться на 129. подбираем: 1000 : 43 = 23 и 11 в остатке. 43 × 23 = 989. проверим, делится ли оно на 3? сумма цифр 9 + 8 + 9 = 26, следовательно, число 989 не делится на 3. ответ: 989