Вправильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. ( сфера касается всех граней пирамиды.) найдите площадь этой сферы.

Ведём обозначения:     - высота пирамиды н,   - сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a, ‍ - боковое ребро равно b. ‍ пусть pm  — ‍  высота н правильной шестиугольной пирамиды  pabcdef ‍  (рисунок дан в приложении),  r  — ‍  искомый радиус. поскольку пирамида правильная, центр q ‍  её вписанной сферы лежит на прямой pm, ‍  точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой  m.‍  рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую pm  ‍  и середину k  ‍  стороны ab  ‍основания abcd‍  . получим равнобедренный треугольник pkl  ‍  (l  — ‍  середина de) ‍  и вписанную в него окружность радиуса r‍с центром на высоте pm. ‍  центр q  ‍  этой окружности лежит на биссектрисе kq  ‍  угла pkm ‍  прямоугольного треугольника pkm,  ‍  а qm  =  r. ‍из прямоугольных треугольников pma  ‍  и pka  ‍  находим, что pm  =  ‍√(ap‍² −  am²‍) = √(b‍² - а²),‍pk  =  ‍√(ap² −  ak‍²) =  ‍√(b² −  ‍(а/2)²)‍‍‍‍2 =  ‍‍  ‍√(4b² - а²)/2.  по свойству биссектрисы треугольника  ‍‍  qm /‍ qp    =  ‍‍  km /‍ kp  ,‍  поэтому ‍‍  qm /‍ pm    =  ‍‍  km /(‍ km  +  kp). ‍следовательно,r  =  qm  =  pm  ·  ‍‍ (km /(‍ km  +  kp))    =  ‍√(b² −  a²)* ·  ‍((a‍√3/2)/((a‍√3/2) +  ‍(√4b² - a‍²)/2))‍2      =  ‍‍  =( a‍√3*‍√(b² − a²) / (‍a‍√3 + √(4b² − а²‍ на основании исходных данных определяем сторону а основания.сторона а равна половине диагонали аd (это радиус описанной окружности) : а =  √(b² - н²) =  √(100 - 36) =  √64 = 8. подставив значения a и b в полученную формулу, находим радиус вписанного в пирамиду шара. r = (8√3*√(100-64))/(8√3+√(4*100-64)) = 48√3/(8√3+4√21) =   = 48√3/(8√3+4√3*√7) = 48√3/(4√3(2+√7)) = 12/(2+√7) =   = 12(2-√7)/((2+√7)(2-√7)) = 12(2-√7)/(4-7) = -4(2-√7) = 4√7-8  ≈      ≈ 2,583005‍.

8000000-586×604+1314: 913= 8374.6506