Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. начальное значение числа равно 2. выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 2012. кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? найдите сумму всех выигрышных позиций (2012 мы тоже считаем выигрышной).

Назовем  состоянием количество очков до хода игрока. состояние  выигрышно, если приводит к выигрышу игрока, чей сейчас ход, и  проигрышно иначе. все состояния от 1007 до 2011 с очевидностью выигрышные (до 2012 остаётся только один ход). 1006 - проигрышное (любым ходом переходим в выигрышное состояние 1007 - 2011). состояния  504 - 1005 - выигрышные (можно следующим ходом перевести игру в проигрышное состояние 1006). 503 - проигрышное (дальше выигрышные 504 - 1005). 252 - 502 - выигрышные (дальше в 503). 251 - проигрышное (252 - 501) 126 - 250 - выигрышные (дальше в 251). можно и дальше так выписывать, но можно сразу написать, что дальше проигрышные состояния  125, 62, 31, 15, 7, 3. дальше остаётся заметить, что  выигрышные позиции (которые нужно найти по условию) - это проигрышные состояния. сумма выигрышных позиций = 2012 + 1006 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 = 4015. т.к. 2 - выигрышное состояние, то выигрывает первый игрок.

Впервой корзине - х во второй - х+7 в третей - х+14 в четвертой - х+21 во всех 106 решение: х+х+7+х+14+х+21=106 4х+42=106 4х=106-42 4х=64 х=64: 4 х=16 - в первой корзине 16+7=23 - во второй корзине 23+7=30 - в третей корзине 30+7=37 - в четвертой корзине