Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что MA=MC, MB=MD. докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Есть такой прямой метод - треугольники abk и kmc подобны, поскольку  ∠abc =  ∠amc; (у этих треугольников еще одна пара углов - вертикальные, значит все углы равны); при этом длину биссектрисы ak легко найти: по свойству биссектрисы bk/ck = 9/6 = 3/2; откуда bk = 3, ck = 2; ak^2 = ab*ac - bk*ck = 5*6 - 3*2 = 48; ak = 4√3;   отсюда можно найти все стороны ckm (km =  √3/2; cm = 3√3/2, ck = 2), найти площадь по формуле герона и применить r = abc/4s; ничего этого я делать не буду : )) пригодится только ck = 2; и  ∠abc =  ∠amc; я обозначу этот угол  α; вместо этого я найду площадь треугольника abc. стороны 9, 5, 4, полупериметр p =  (9 + 5 + 6)/2 = 10; p - 9 = 1; p - 5 = 5; p - 6 = 4; s^2 = 10*1*5*4 = 200; s = 10√2;   отсюда 10√2 = 9*5*sin(α)/2; sin(α) = 4√2/9;   отсюда по теореме синусов  искомый радиус равен r =    ck/(2*sin(α)) = 9√2/8;