Найти градиент функции z=f(x,y) в точке a и производную этой функции в направлении вектора ab в точке a. постройте линию уровня функции z=f(x,y), проходящую через точку a, и найденный градиент с началом в точке a z=-x^2/4-y^2 a(3; 2) b(6; -2)

Пример №1 . дана функция z=z(x,y), точка a(x0,y0) и вектор a. найти:   1) grad z в точке а; 2) производную данной функции в точке а в направлении вектора a. решение.  z = 5*x^2*y+3*x*y^2градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем градиент в точке а(1; 1)илимодуль grad(z): направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: найдем производную в точке а по направлению вектора а(6; -8).найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: для вектора a имеем: если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. пример №2. даны z=f(x; y), а(х0, у0).  найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке а.  б) производную в точке а по направлению вектора а. пример №3. найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора  l(1; 2).  z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x решение.  градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:   находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем производную в точке а по направлению вектора а(1; 2).  найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы:   для вектора a имеем:     если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. пример №4. дана функция  . найти:   1)  gradu  в точке  a(5; 3; 0);   2) производную в точке  а  в направлении вектора  .  решение.  1.  .  найдем частные производные функции  u  в точке  а.  ; ;   ,  .  тогда    2. производную по направлению вектора  в точке  а  находим по формуле  .  частные производные в точке а нами уже найдены. для того чтобы найти  , найдем единичный вектор    вектора  .  , где  .  отсюда  . пример №5. даны функция  z=f(x), точка  а(х0, у0)  и вектор  a. найти: 1)  grad z  в точке  а; 2)  производную в точке  а  по направлению вектора  a.  решение.  находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем градиент в точке а(1; 1)илимодуль grad(z): направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: найдем производную в точке а по направлению вектора а(2; -5).найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: для вектора a имеем:   поскольку  ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

Львов - киев   6 * 100 = 600 км киев - харьков     5 * 100 + 50   = 550 км львов - харьков     600 + 550 = 1150 км