BUPA1

16.12.2022 13:01

Математика

Есть ответ 👍

Ne ЯККІШ
.Ne
1
KKIII
1
ЖКИ
25
8
36
N
21
KKU
S 14
+
12 15
NO
31
Ne
51
1
17
1
+
9
17
6
36
40 3
1
2
2
12
S
8
2
22
3
32
7
NKKIII
13
18 8
42 5 1
3
43
4
24
Ws
52
$
12
2
4
SD
18
12
8
3
6
13
7
33
4 12
1 1
+
6
13
20
53
+
"ИККИ
1
2 5
13 3
2.
25 5 3
+
28 34 70
35 S
36 20
7
18 72
29 4
8
9
72
5
+
40
7
45
4
7
1
4
S
1
54
21 18 35
3 1
+
7 28
5 1 7
+
8 12
*
15
X
4
15
5
15
25
1
35
45
2
10
15
16
9
20
55
S
N
3 8
4 15 20
5 2
25
36
5
26
16
36
46
9S
13
30
2
-
GANDAWCoin
8
6
9
27
7
9
17
27
17
37
57
5
18
3
11
8
5
12-cin-
22
8
15
35 1
+
4 12
7 2 1
10 15 6
17 5 2
18 12 9
3 3
25
7
10
4 13
10 5 20
18
8
1
2
38
28
wp-
**
(1
6
9
OZ S
2 7.
5 18
1 3
19 38
16 71 2
21 6
4912 2 9
+
6
59
5
19
29
5
2
18
+
12
24
30
2.
12 15
5
+
12 15
10
7.
2
1
20
30
40
507
8
15
6
S 14

Я не хера не понела и времени нет

191

410

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

nkochneva1

Математика

4,6(22 оценок)

Полное решение в прикрепленном файле, здесь некоторые подробные расчеты пропущены, так как слишком длинное решение не хочет добавляться.

$\begin{cases} x'=4x+6y-\sin t\\ y'=3x+y+e^{5t} \end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

$x''=4x'+6y'-\cos t$

Подставим выражение для y' из второго уравнения:

$x''=4x'+6(3x+y+e^{5t})-\cos t$

$x''=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t$

От получившегося уравнения отнимем первое уравнение системы:

$x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-(4x+6y-\sin t)$

$x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-4x-6y+\sin t$

$x''-5x'-14x=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

Решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

x''-5x'-14x=0

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-5\lambda-14=0$

$\lambda_1=7;\ \lambda_2=-2$

$X=C_1e^{7t}+C_2e^{-2t}$

Предположим, что C_1 и C_2 не константы, а некоторые функции C_1=z_1(t) и C_2=z_2(t) .

Найдем первую производную:

$X'=C_1'e^{7t}+7C_1e^{7t}+C_2'e^{-2t}-2C_2e^{-2t}$

Пусть $C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0$ . Тогда:

$X'=7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t}$

Найдем вторую производную:

$X''=7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}$

Подставим значения функции и производных в уравнение относительно х:

$7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-5(7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t})-\\-14(C_1e^{7t}+C_2e^{-2t})=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-35C_1e^{7t}+10C_2e^{-2t}-\\-14C_1e^{7t}-14C_2e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

Добавим к полученному уравнению условие, заданное на этапе нахождения первое производной:

$\begin{cases} C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0 \\ 7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t \end{cases}$

Из первого уравнения выразим C_1' :

$C_1'=-C_2'e^{-9t}$

Подставим во второе уравнение:

$-7C_2'e^{-9t}e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$-9C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$C_2'=-\dfrac{6e^{5t}+\sin t-\cos t}{9e^{-2t}}$

$C_2'=-\dfrac{1}{9} \left(6e^{7t}+e^{2t}\sin t-e^{2t}\cos t\right)$

Найдем C_1' :

$C_1'=-C_2'e^{-9t}=\dfrac{1}{9} \left(6e^{-2t}+e^{-7t}\sin t-e^{-7t}\cos t\right)$

Необходимо проинтегрировать выражения для C_1' и C_2' . Для этого предварительно вычислим следующие циклические интегралы, пользуясь формулой интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int e^{2t}\sin tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (2\sin t-\cos t)+C$

$\int e^{2t}\cos tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)+C$

$\int e^{-7t}\sin tdt=-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)+C$

$\int e^{-7t}\cos tdt=\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)+C$

Интегрируем выражение для C_1' :

$C_1=\dfrac{1}{9} \left(6\cdot \dfrac{1}{-2} e^{-2t}-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)\right)+D_1$

$C_1=-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1$

Интегрируем выражение для C_2' :

$C_2=-\dfrac{1}{9} \left(6\cdot\dfrac{1}{7} e^{7t}+\dfrac{1}{5} e^{2t}(2\sin t-\cos t)-\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)\right)+D_2$

$C_2=-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2$

Подставляем выражения для C_1 и C_2 в решение:

$x=\left(-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1\right)e^{7t}+\\+\left(-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2\right)e^{-2t}$

$x=-\dfrac{1}{3} e^{5t}-\dfrac{1}{225} (4\sin t-3\cos t)+D_1e^{7t}-\dfrac{2}{21} e^{5t}-\dfrac{1}{45}(\sin t-3\cos t)+D_2e^{-2t}$

$x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t)$

Найдем производную:

$x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7}\cdot5e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)$

$x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)$

Из первого уравнения исходной системы выразим у:

$y=\dfrac{1}{6} \left(x'-4x+\sin t\right)$

Подставляем выражения для х и х':

$y=\dfrac{1}{6} \left(7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)-$

$\left-4\left(D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t -2\cos t)\right)+\sin t\right)=$

$=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)$

ответ: $\begin{cases} x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t) \\ y=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)\end{cases}$

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.