ABCD-квадрат. AB=4√2 см, MD=MA=MB=MC=5 см. Найти расстояние от точки М до плоскости квадрата

Відповідь:

Пояснення:

Позначимо сторони паралелограма через a та b, а відстань між паралельними сторонами - через h. За умовою, одна з діагоналей паралелограма є перпендикулярною до сторони, тобто є висотою. Тому, знаючи висоту h, ми можемо визначити площу паралелограма S:

S = h * b

Також з умови відомо, що кут між сторонами паралелограма дорівнює 60 градусам. Без втрати загальності, можемо припустити, що a > b. Тоді можна виділити трикутник ABC, де А і В - вершини паралелограма, а С - точка перетину діагоналей:

     C

    / \

 h /   \ h

  /  60 \

 A B

Відношення сторін трикутника ABC: AB = 2BC (бо кут BAC дорівнює 60 градусам). Позначимо BC = x, AB = 2x. За теоремою Піфагора в трикутнику ABC:

AC^2 = AB^2 - BC^2 = 3x^2

Але AC = h (так як AC - це висота паралелограма), тому:

h^2 = 3x^2

h = x*sqrt(3)

Ми отримали дві рівності з двома невідомими (S = hb та h = x*sqrt(3)). Для подальшого розв'язання задачі можна використати будь-яку з них. Наприклад, підставимо h в першу рівність:

S = b * h = b * x * sqrt(3)

Далі можна скористатися з формули для площі трикутника через дві сторони та кут між ними:

S = 0.5 * a * b * sin(60)

Оскільки a || b і кут між ними дорівнює 60 градусам, то sin(60) = sqrt(3)/2. Підставляючи це значення до формули для S, отримаємо:

S = 0.5 * a * b * sqrt(3) / 2

Equating S from both the equations

b * x * sqrt(3) = 0.5 * a * b * sqrt(3) / 2

x = a / 4

Substituting x in equation h = x*sqrt(3)

h = a / 4 * sqrt(3)

Substituting h in S = hb

S = b * a / 4 * sqrt(3)

Simplifying the expression:

S = (a ^ 2 / 4) * sqrt(3)

Now, substituting the original value of h as 2 * sqrt(3)

S = b * 2 * sqrt(3)

Equating both the expressions of S

(a ^ 2 / 4) * sqrt(3) = b * 2 * sqrt(3)

a ^ 2 = 8 * b

Now, we can substitute this expression of a^2 in the formula of S in terms of b

S = (a ^ 2 / 4) * sqrt(3)

S = 2 * b * sqrt(3)

Equating both the expressions of S, we get

2 * b * sqrt(3) = (a^2 / 4) * sqrt(3)

a^2 = 8b

Substituting this value of a^2 in the expression for S in terms of b:

S = (a ^ 2 / 4) * sqrt(3)

S = 2 * b * sqrt(3)

2 * b * sqrt(3) = (8b / 4) * sqrt(3)

b = 2 * sqrt(3)

Substituting b in a^2 = 8b:

a^2 = 8 * 2 * sqrt(3)

a = 4 * sqrt(6)

Therefore, the sides of the parallelogram are a = 4 * sqrt(6) and b = 2 * sqrt(3).