Даны пять чисел:
(i) Укажите два равных числа.
(ii) Произведение каких двух чисел равно 3?

7.1 вася и толя обменялись значками. до обмена у васи было на 5 значков больше, чем у толи. по- сле того, как вася обменял 24% своих значков на 20% значков толи, у васи стало на один зна- чок меньше, чем у толи. сколько значков было у мальчиков до обмена? ответ. у толи было 45 значков, у васи – 50 значков. решение. пусть до обмена у толи было x значков, тогда у васи было (x + 5) значков. после обмена у толи стало   25 6 5 5   x   x x , а у васи   25 5 6 5 5 x x   x    . решая уравнение     1, 25 5 6 5 5 25 6 5 5            x x x x x x находим x = 45. 7.2. существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа 13x  4y и 10x  3y целые? ответ. не существуют. решение. пусть 13x + 4y = m, 10x + 3y = n, где m и n – целые. решим эту систему уравнений, домножив первое уравнение на 3, а второе – на 4. вычитая уравнения, получим x = – 3m +4n, т.е. x – целое число. 7.3. найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд иду- щих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? ответ: а) да; б) да. решение. можно искомую серию из 11 составных чисел: 200, 201, …, 210. объясним сначала, как найти подобную серию из 9 составных чисел. есть 4 простых числа меньше 10: это 2, 3, 5, 7. их произведение равно 210. поэтому при любом целом k каждая из двух серий 210k  2,210k  10 и 10 210k  2, 210k   состоит из 9 составных чисел. это отвечает на вопрос пункта а) при k = 1 или 2. если заметить, что 20911, то получим ответ на вопрос б). 7.4. на сторонах ав и вс треугольника авс взяты точки м и n соответственно. оказалось, что пе- риметр  amc равен периметру  cna, а периметр  anb равен периметру  cmb. докажите, что  abc равнобедренный. решение. будем обозначать периметр буквой p. из условия имеем p(amc) + p(cmb) = p(cna) + p(anb). отсюда p(abc) + 2  cm = p(abc) + 2  an. значит cm = an. из этого соотношения, учитывая равенство периметров треугольников amc и can, получим, что am = nc. поэтому тре- угольники amc и can равны по трем сторонам. тогда a = c, значит, abc равнобедренный.