На внутрешкольной олимпиаде 14 учащихся решили 58 задач некоторые из них решили 2 задачи некоторые 3 а некоторые 4 задачи докажите что некоторые из участников олимпиады решили не менее 4 задач класс

ответ:Докажем от противного. Предположим, что никто не решил не более 4 задач. По условию количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не менее одного. Так как по условию количество учащихся 14, то количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не более 12 (=14-1-1). Введём обозначения:

x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤12), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤12), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤12).

По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z=14.

Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство

2·x+3·y+4·z=58

для некоторых значений x, y и z.

Так как все числа натуральные, то наибольшее значение выражение получим, если z принимает наибольшее значение, то есть z=12. Но тогда x=1, y=1 и:

2·1+3·1+4·12=2+3+48=53<58.

Последнее противоречить главному условию задачи.

Отсюда следует, что некоторые из участников олимпиады решили не менее 5 задач.

Найдём количество учеников решивших определённое количество задач.

Пусть теперь x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤11), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤11), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤11), t - количество решивших 5 задач (1≤t≤11).

По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z+t=14.

Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство

2·x+3·y+4·z+5·t=58

для некоторых значений x, y, z и t.

Если x=3, y=1, z=1 и t=9, то получаем нужный результат:

2·3+3·1+4·1+5·9=58!

Пошаговое объяснение: