851. Координаталық түзуде А, В және С нүктелері берілген (5.1-сурет). 1) А нүктесі мен В нүктесінің; 2) В нүктесі мен С нүктесінің;
3) А нүктесі мен С нүктесінің координатасын салыстырып, нәтижесін
санды теңсіздік түрінде жазыңдар.

даны координаты вершин пирамиды:

а1 (1, 1, 1),  а2 (2, 0, 2),  а3(2, 2, 2), а4 (3, 4, -3).

найти:

1) длину ребра а1а2.

|a1a2| =  √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) =  √3  ≈ 1,73205.

2) угол  α между ребрами а1а2 и а1а3.

вектор а1а2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

вектор а1а3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos  α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.

α = arc cos(1/3) = 1,2309594 радиан =  70,528779 градуса.

3) площадь грани а1а2а3. s  = (1/2)*|a  ×  b|.

найдем  векторное произведение векторов:

c   =  a   ×  b. a  ×  b  =  ijkaxayazbxbybz  =  ijk1-11111  =  i  )·1  -  1·1)  -  j  (1·1  -  1·1)  +  k  (1·1  -  (-1)·1)  =    =  i  (-1  -  1)  -  j  (1  -  1)  +  k  (1  +  1)  =  {-2;   0;   2}

найдем  модуль вектора:

|c|  =  √(cx²   +  cy²   +  cz²)  =  √)²  +  0²  +  2²)  =  √(4  +  0  +  4)  =  √8  =  2√2.

найдем площадь треугольника:

s  = (1/2)*2√2  =  √2  ≈  1,41421356.площадь грани можно также найти по формуле: s = (1/2)|a1a2|*|a1a3|*sin  α. синус найдём через найденный косинус угла между векторами: sin  α =  √(1-cos²α) =  √(1-(1/3)²) =  √(8/9) = 2√2/3. модули векторов уже найдены при определении косинуса угла: √3 и √3. площадь грани a1a2a3 равна: s = (1/2)*√3*√3*2√2/3 =  √2. 4) объем пирамиды а1а2а3a4 (с учётом, что a1a4 =(2; 3; -4) ).v = (1/6)*| 1   -1     1|                |1     1    1|                |2     3   -4|.так как определитель матрицы ∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*)*(-4)-3*1)+2*)*1-1*1) = -12, то объём равен: v = (1/6)*12 = 2. 5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины a4.    длина высоты пирамиды h=3v/sосн = 3*2/√2 = 3√2  ≈  4,242641.