На рисунку АВ ║ CD, CAB = 124°, BCD = 28°. Доведіть, що CB –
бісектриса кута ACD.

первое следует из того, что половина длины хорды и расстояние до хорды связаны теоремой пифагора с радиусом окружности (ну, возьмите любую хорду, опустите на неё перпендикуляр из центра, и рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого катеты - половина хорды и перпендикуляр к хорде, а гипотенуза - радиус). поэтому хорды, равноудаленные от центра, имеют равные длины. а касательные к внутренней окружности как раз удалены от центра на равное расстояние - на радиус малой окружности. 

чтобы доказать второе утверждение, достаточно доказать, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам (тогда она и вторую делит пополам : если соединить центры окружностей и провести радиусы в точки касания внутренней касательной, то мы получим 2 прямоугольных треугольника с равными углами и катетами-радиусами, которые равны по условию. этого достаточно,чтобы утверждать равенство треугольников. откуда и следует, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам. значит, она и вторую делит пополам, значит - внутренние касательные пересекаются в своих серединах.