Периметр равнобедренного треугольника авс ( ав=вс) равен 16 см . периметр треугольника авм , где м - середина отрезка ас , равен 12 см . найдите длину медианы вм.

Обозначим вершины прямоугольного параллелепипеда abcdefgh, где прямоугольники abcd и efgh - противоположные грани параллелепипеда, а вершины перечислены в порядке обхода по часовой стрелке. при этом отрезок ae является ребром параллелепипеда. пусть ab=5, ad=13 и ae=4. проведем диагональ ac в прямоугольнике abcd. имеем 2 равных  прямоугольных треугольника: abc и adc. т.к. abcd - прямоугольник, то сторона bc равна стороне ad, а сторона ab равна  стороне  cd. по теореме пифагора квадрат гипотенузы (ac) равен сумме квадратов катетов (ad и bc или ab и cd). т.е. ac² = ab²+ad². рассмотрим теперь треугольник acg. сторона cg перпендикулярно плоскости abcd, т.к. является ребром прямоугольного параллелепипеда. значит, cg перпендикулярна любой прямой в плоскости abcd, в частности, прямой ac. значит, угол acg треугольника acg является прямым, т.е. треугольник acg - прямоугольный с катетами ac и cg и гипотенузой ag, которая является диагональю прямоугольного параллелепипеда. отсюда, по теореме пифагора, ag²  =  ac²+cg². длина ребра  cg равна длине ребра ae. значит, ag² = ac²+ae². подставляя вместо ac² найденное раньше выражение ab²+ad², получаем, что ag² = ab²+ad²+ae² = 5²+13²+4² = 25+169+16 = 210. значит, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 5 и 13 равна  √210.