Треугольник АВС правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости АВС.
а) Докажите, что МА=МВ=МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.

Центр правильного треугольника - это центр описанной и вписанной окружности, и расположен он в точке пересечения высот (медиан, биссектрис).

Т.к. все высоты правильного треугольника равны между собой,  эта точка делит каждую высоту ( медиану) этого треугольника по свойству медиан в отношении 2:1, считая от вершины , т.е.

АО=ВО=СО,

.Эти отрезки - проекции наклонных МА, МВ, МС  

Поскольку проекции равны, то и наклонные равны. Т.е.

МА=МВ=МС

МА по т. Пифагора

МА=√ (АО²+МО²)  

АО - радиус описанной окружности и может быть найден по формуле

R=a/√3

или найти длину высоты данного правильного треугольника,  и 2 ее трети и будут проекциями наклонных  , т.е. равны АО.

h=a√3):2=6√3):2=3√3

AO=3√3):3)·2=2√3

МА=√(АО² + МО²)=√(12+4)=4 см

радиус шара = 30 см. найдем объем большого шара:

v = 4/3 * π * r³ = 4/3 * π * 30³ = 36000π (см³).

⇒ объем каждого малого шара   v₁ = v/2 = 18000π = 4/3 * π * r³ (см³).

найдем радиус малого шара   r³ = 18000 *   3 /4 = 13500 = 15³ * 4.

r = 15 ∛4 см.