ArtemkaCrash

10.10.2020 14:22

Математика

Есть ответ 👍

X+6y и 3-6y
x³-3xy+y² и x²-y²

216

290

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

Настя5111111111

Математика

4,7(94 оценок)

в любом параллелограмме:

1) противоположные стороны равны2) противоположные углы равны3) диагонали делятся пополам точкой пересечения

давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами докажем теорему.

итак, почему верно 1)?

давай проведём диагональ ac\displaystyle acac. что получится? два треугольника: abc\displaystyle abcabc и adc\displaystyle adcadc.

раз abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм, то :

ad∣∣bc\displaystyle ad||bcad∣∣bc ⇒ ∠1=∠2\displaystyle \rightarrow ~\angle 1=\angle 2⇒ ∠1=∠2 как накрест лежащиеab∣∣cd \displaystyle ab||cd\ab∣∣cd ⇒ ∠3=∠4\displaystyle \rightarrow ~\angle 3=\angle 4⇒ ∠3=∠4 как накрест лежащие.

значит, δabc=δadc\displaystyle \delta abc=\delta adcδabc=δadc (по ii признаку: ∠1=∠2, ∠3=∠4 \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~∠1=∠2, ∠3=∠4 и ac\displaystyle acac - общая.)

ну вот, а раз δabc=δadc\displaystyle \delta abc=\delta adcδabc=δadc, то ab=cd\displaystyle ab=cdab=cd и ad=bc\displaystyle ad=bcad=bc – всё! – доказали.

но кстати! мы ещё доказали при этом и 2)!

почему? но ведь ∠1+∠3=∠2+∠4\displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4∠1+∠3=∠2+∠4 (смотри на картинку), то есть ∠a=∠c\displaystyle \angle a=\angle c∠a=∠c, а ∠b=∠d\displaystyle \angle b=\angle d∠b=∠d именно потому, что δabc=δadc\displaystyle \delta abc=\delta adcδabc=δadc.

осталось только 3).

для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

мы уже выяснили, что ab=cd\displaystyle ab=cdab=cd. давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

и теперь видим, что δaob=δcod\displaystyle \delta aob=\delta codδaob=δcod - по ii признаку (2\displaystyle 22 угла и сторона «между» ними).

значит, bo=od\displaystyle bo=odbo=od (напротив углов ∠2\displaystyle \angle 2∠2 и ∠1\displaystyle \angle 1∠1) и ao=oc\displaystyle ao=ocao=oc (напротив углов ∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 соответственно).

свойства доказали! перейдём к признакам.

признаки параллелограмма

напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать? ", что фигура является параллелограммом.

признак 1. если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

в значках это так:

ab=cd\displaystyle ab=cdab=cd; ab∥cd\displaystyle ab\parallel cdab∥cd ⇒\displaystyle \rightarrow⇒ abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм.

почему? хорошо бы понять, почему ad∥bc\displaystyle ad\parallel bcad∥bc – этого хватит. но смотри:

δabc=δadc\displaystyle \delta abc=\delta adcδabc=δadc по 1 признаку: ab=cd\displaystyle ab=cdab=cd, ac\displaystyle acac- общая и ∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных ab\displaystyle abab и cd\displaystyle cdcd и секущей ac\displaystyle acac.

а раз δabc=δadc\displaystyle \delta abc=\delta adcδabc=δadc,

то ∠3=∠4\displaystyle \angle 3= \angle 4∠3=∠4 (лежат напротив ab\displaystyle abab и cd\displaystyle cdcd соответственно). но это значит, что ad∣∣bc\displaystyle ad||bcad∣∣bc (∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 - накрест лежащие и оказались равны).

ну вот и разобрались, .

признак 2. если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм. ab=cd\displaystyle ab=cdab=cd, ad=bc\displaystyle ad=bcad=bc ⇒\displaystyle \rightarrow⇒ abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм.

снова проведём диагональ ac\displaystyle acac.

теперь δabc=δacd\displaystyle \delta abc=\delta acdδabc=δacd просто по трём сторонам.

а значит:

∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 ⇒ad∥bc\displaystyle \rightarrow ad\parallel bc⇒ad∥bc и ∠3=∠4\displaystyle \angle 3=\angle 4∠3=∠4 ⇒ab∥cd\displaystyle \rightarrow ab\parallel cd⇒ab∥cd, то есть abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм. признак 3. если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм. ∠a=∠c\displaystyle \angle a=\angle c∠a=∠c, ∠b=∠d\displaystyle \angle b=\angle d∠b=∠d ⇒\displaystyle \rightarrow⇒ abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм.

2α+2β=360∘\displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ2α+2β=360∘ (ведь abcd\displaystyle abcdabcd – четырехугольник, а ∠a=∠c\displaystyle \angle a=\angle c∠a=∠c, ∠b=∠d\displaystyle \angle b=\angle d∠b=∠d по условию).

значит, α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘. ух! но α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей ab\displaystyle abab!

поэтому тот факт, что α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘ означает, что ad∥bc\displaystyle ad\parallel bcad∥bc.

а если посмотришь с другой стороны, то α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей ad\displaystyle adad! и поэтому ab∥cd\displaystyle ab\parallel cdab∥cd.

признак 4. если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм. ao=oc\displaystyle ao=ocao=oc; bo=od\displaystyle bo=odbo=od ⇒\displaystyle \rightarrow⇒ abcd\displaystyle abcdabcd – параллелограмм.

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.