Дано координати 4 вершин піраміди ABCD. А(2;2;0);В(4;3;2);С(1;4;1);D(4;1;2;)Знайти: 1) довжину ребра AB 2) кут між ребрами AB і AC
3) площу трикутника ABC
4) об’єм піраміди ABCD
5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D
6) довжину висоти ВВ1 піраміди.

Дано координати 4 вершин піраміди ABCD:

А(2;2;0); В(4;3;2); С(1;4;1); D(4;1;2).

Знайти: 1) довжину ребра AB.

|AB| =  √((4-2)² + (3-2)² + (2-0)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

2) кут між ребрами AB і AC .

Вектор АВ из п.1 (2; 1; 2). его модуль равен 3.

Находим вектор АС = ((1-2; (4-2); (1-0)) = (-1; 2; 1).

Модуль АС равен √(1+4+1) = √6.

cos A = (2*(-1)+1*2+2*1)/(3 *√6) = 2/(3√6) = √6/9.

Угол равен  1,29515 радиан или 74,20683 градуса.

3) площу трикутника ABC . S(ABC) = (1/2)*|ABxAC|.

  i       j       k|       i         j

2       1       2|       2       1

-1      2       1|      -1       2 = 1i - 2j + 4k - 2j - 4i + 1k =

                                       = -3i - 4j + 5k.

S = (1/2)*√(((-3)² + (-4)² + 5²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.

4) об’єм піраміди ABCD .

Находим вектор AD = (2; -1; 2). V = (1/6)*|ABxAC|*AD.

|ABxAC| =  (-3; -4; 5) определено в п. 3.

V = (1/6)*(2*(-3)+(-1)*(-4)+2*5) = (1/6)*8 = (4/3) куб.ед.

5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D .

Точки А(2;2;0); С(1;4;1); D(4;1;2).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xС - xA yС - yA zС - zA

xD - xA yD - yA zD - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2       y - 2        z - 0

1 - 2       4 - 2         1 - 0

4 - 2       1 - 2         2 - 0    = 0

x - 2      y - 2      z - 0

-1          2              1

2          -1             2    = 0.

(x - 2) (2·2-1·(-1))  -  (y - 2) ((-1)·2-1·2)  +  (z - 0) ((-1)·(-1)-2·2)  = 0 .

5 (x - 2)  + 4 (y - 2)  + (-3) (z - 0)  = 0 .

5x + 4y - 3z - 18 = 0 .

6) довжину висоти ВВ1 піраміди. BB1 = 3V/S(ACD).

S(ACD) = (1/2)*|ACxAD|.  

Вектор АС = (-1; 2; 1), вектор AD = (2; -1; 2).

  i       j       k|       i         j

-1       2       1|       -1      2

2       -1       2|       2      -1  =  4i + 2j + 1k + 2j + 1i - 4k =

                                          = 5i + 4j - 3k.

S = (1/2)*√(5² + 4² + (-3)²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.

H= BB1 = 3*(4/3)/(5√2/2) = 4√2/5 ≈ 1,13137.