Бесплатный
с наступающимНовым годом​

Ураа Новый год ур

большое очень

Перепишем уравнение в виде x*y'+y-1=0 или - по сокращению на x - в виде y'+y/x-1/x=0. это лду 1-го порядка, его решение будем искать в виде y=u*v, где u=u(x) и v=v(x) -  неизвестные пока функции. тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид u'*v+u*v'+u*v/x-1/x=0. переписываем его в виде v*(u'+u/x)+u*v'-1/x=0. так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то полагаем u'+u/x=0, или du/dx=-u/x. отсюда du/u=-dx/x. интегрируя обе части, находим  ∫du/u=-∫dx/x, или ln/u/=-ln/x/, откуда u=1/x. подставляя это выражение в уравнение, получаем уравнение v'/x-1/x=0, или v'=dv/dx=1. отсюда dv=dx, а интегрируя это равенство, находим  ∫dv=∫dx, откуда v=x+c. тогда y=1/x*(x+c)=c/x+1. проверка: y'=-c/x², x*y'=-c/x, 1-y=1-c/x-1=-c/x, -c/x=-c/x. ответ: y(x)=c/x+1.