ДАЮ Центр O окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, лежит на биссектрисе угла BAC. Кроме того, он лежит на окружности, проходящей через середины сторон AB и AC (точки С1 и B1 соответственно) и вершину А. Найдите AB, если AC=2, а BC=√28

Пусть A1, B1 и C1 — середины BC, AC и AB соответственно, O — центр данной окружности, $ \angle$ACB = $ \alpha$.

Поскольку $ \angle$A1C1B1 = $ \angle$ACB = $ \alpha$, то треугольник A1B1C1 равен треугольнику B1A1C. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A1B1C, равны.

Пусть прямая OC пересекает вторую окружность в точке M. Тогда MA1 = MB1 и OA1 = OB1. Поэтому, если точки O и M не совпадают, то OC $ \perp$ A1B1, а т.к. CO — биссектриса угла ACB, то CA1 = CB1 и AC = BC = 4. В этом случае

AC + BC = 4 + 4 = 8 < 2$\displaystyle \sqrt{19}$ = AB,

что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M и O совпадают, не верно.

Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда

$\displaystyle \angle$A1OB1 + $\displaystyle \angle$A1CB1 = 180o,

т.е.

2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ = 180o, $\displaystyle \alpha$ = 60o.

Обозначим AC = x. Тогда по теореме косинусов

x2 + 16 - 4x = (2$\displaystyle \sqrt{19}$)2.

Из этого уравнения находим, что x = 10.

ответ

10.

Объяснение:

ответ:80°

Объяснение: <В=20°

<А=<С =(180°-20°):2=80°