Lapatkoanna

26.01.2022 18:41

Математика

Есть ответ 👍

Окружность, вписанная в треугольник АВС, освещает стенки АВ и АС в точках М и N. Р-точка пересечения прямой MN и угла В с биссектрисой. Докажите, что угол ВРС вертикальный

133

190

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

кракодиллох

Математика

4,5(39 оценок)

Пошаговое объяснение:Вариант 1, при АВ>BC.

а) В ∆ АВС отрезок EF - средняя линия, так как соединяет середины

сторон АВ и АС.

ЕF параллельна ВС. Отрезок MD - секущая.

Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC.

По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN - равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC.

∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда

∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.

б) В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

То есть CN = (AC + BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.

FN=FC-CN = AC/2 - (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2.

Но FN = FD (доказано выше) и

ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE.

Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).

Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.

Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна

Sbed=25√3.

Для второго варианта, при АВ<ВС:

а). EF параллельна ВС, MN - секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC

равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN - равнобедренный с основанием ND.

FN=FD. Что и требовалось доказать.

б). CN = (AC+BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.

FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 - AC/2 - = BC/2-АВ/2.

Но FN = FD (доказано выше) и

ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE.

То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).

Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.

Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна

Sbed=25√3.

Vicus44ea

Математика

4,8(41 оценок)

Да можно сделать димо

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.