13.08.2021 11:11

Есть ответ 👍

F(x) = (х + 4х – 3, F(-2) = -3 Знайдіть сталий доданок первісної даної функції і запишіть його у відповідь!

201

338

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

owl42

Математика

4,6(99 оценок)

(Метод Лагранжа).

$y'+y=\cos{x};y'+y=0; \frac{dy}{dx} =-y; \frac{dy}{y}=-dx; \int{\frac{dy}{y} }=-\int{dx}; \ln|y|=-x+C;ln|y|=\ln{e^{-x}}+\ln{C}; \ln{y}=\ln{Ce^{-x}}; y=Ce^{-x}$

Произвольную постоянную примем за функцию от .

$y=C(x)e^{-x}; y'=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}.$

Подставим и в исходное уравнение:

$C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=\cos{x}; C'(x)e^{-x}=\cos{x}; \frac{d(C(x))}{dx}=\frac{\cos{x}}{e^{-x}}d(C(x))=\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}; \int{d(C(x))=\int{\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}}; C(x)=\int{\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}};$

Отдельно найдем полученный неопределенный интеграл:

$\int\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}=\int{e^x\cos{x}}dx;int{e^x\cos{x}}dx=\left[u=e^x; du=e^xdx\atop dv=\cos{x}dx;v=\sin{x}\right]=e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}dx.}int{e^x\sin{x}dx=\left[u=e^x; du=e^xdx\atop dv=\sin{x}dx;v=-\cos{x}\right]=-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx.$

Отсюда получаем что:

$\int{e^x\cos{x}}dx=e^x\sin{x}-(-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}dx});2\int{e^x\cos{x}}dx=e^x\sin{x}+e^x\cos{x}int{e^x\cos{x}}dx=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2$

Отсюда получаем что:

$C(x)=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2$

Теперь подставим в формулу $y=C(x)e^{-x}$ :

$y=\frac{1}{e^x}\Big(\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2 \Big) =\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x}) +e^{-x}C_2$

В итоге окончательно получаем:

$\boxed{y=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x}}$

(Метод Бернулли)

$y'+y=\cos{x}$

Пусть y=uv; y'=u'v+uv' тогда:

$u'v+uv'+uv=\cos{x}; u'v+u(v'+v)=\cos{x}$ потребуем, чтобы v'+v=0 тогда:

$\frac{dv}{dx}+u=0;\frac{dv}{v}=-dx; \int{\frac{dv}{v} }=-\int{dx};\ln{v}=-x \Rightarrow v=e^{-x}$

Подставим найденное значение в $u'v+u(v'+v)=\cos{x}$ :

$u'e^{-x}+u(e^{-x}-e^{-x})=\cos{x};u'=\frac{\cos{x}}{e^-x} \Rightarrow u=\int{e^x\cos{x}}dx$

В предыдущем данный интеграл был найден методом интегрирования по частям, поэтому не будет здесь его искать а просто подставим уже найденный.

$u=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C$ но y=uv тогда:

$y=e^{-x}(\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C )=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x}$ Отсюда получаем:

$\boxed{y=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x} }$

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.