Луч BM делит развернутый угол ABC в отношении 4:2, считая от луча BA. Найдите угол ABK, если BK – биссектриса угла MBC.​

Вариант для любителей тригонометрии

Объяснение:

Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника

АВ = "с", ВС = "а".

Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А. Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:

x = c*cosa.    y = a*cos2a.

c = h/sina.     a = h/sin2a.   cos2a = h/а.    =>

x = h*cosa/sina.   y = h*cos2a/sin2a.

x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).

Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)

Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда

cosa/sina - cos2a/sin2a =

(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a).  =>

sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).

(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =

(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a.  =>

x - y = h/cos2a.  cos2a = h/а.  =>

x - y = h/(h/а) = а.

Что и требовалось доказать.