1. Проектировщик опоры ЛЭП инженер Лайтов имеет чертеж прямоуголь- ного треугольника АВС, в котором ZA = 25°, ZC - прямой. Ему необходимо
отметить на стороне АВ такую точку, чтобы сумма длин перпендикуляров,
опущенных из этой точки на две другие стороны, была бы минимальной.
Сколько таких точек можно найти? В каких местах стороны АВ они будут
находиться?

когда боковые грани пирамиды имеют равный угол наклона к основанию, то это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности.

чтобы это понять, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой (высотой боковой грани)  и её (апофемы) проекцией на основание. поскольку угол между апофемой и её проекцией и есть линейный угол двугранного угла между гранью и основанием, то независимо от того, какую мы выбрали боковую грань, треугольники получаются равными друг другу   - по катету (у них общий катет - высота пирамиды) и острому углу. то есть   и вершина, и её проекция на основание равноудалены от сторон основания.

само собой, это означает, что в основание можно вписать окружность, и что все апофемы   равны между собой. то есть все апофемы 10, и осталось найти периметр основания. 

но поскольку в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон   равны. то есть сумма боковых сторон равна сумме оснований трапеции, 2 + 8 = 10, и периметр равен 20.

sboc = (1/2)*20*10 = 100