Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р. а) Докажите, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС.
б) Найдите расстояние от точки Р до прямой АС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 14, угол АВС = 60

Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

a) Докажите, что AP=OP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если угол ABC

равен 120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

а) Покажем равенство углов OAP, AOP треугольника AOP, что будет означать и равенство его сторон AP,OP.

Точка O, центр вписанной окружности в треугольник ABC, – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть \angle A=2\alpha,\angle B=2\beta.

\angle PAC=\angle CBP=\beta как вписанные углы, опирающиеся на дугу PC.

\angle AOP – внешний угол треугольника ABO, \angle AOP =\angle BAO+\angle ABO=\alpha +\beta.

Итак, \angle OAP=\angle AOP, откуда AP=OP. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, \angle ACP=\beta (опирается на дугу AP как и вписанный угол ABP). То есть треугольник ACP – равнобедренный. Пусть Q – центр описанной окружности около треугольника ABC.

Поскольку центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, то перпендикуляр, проведенный к AC из точки P пройдет через точку Q.

Поскольку \angle ABC=120^{\circ}, то \beta=60^{\circ}.

\angle APH=30^{\circ}, а поскольку треугольник AQP – равнобедренный, то \angle AQH=60^{\circ}.

В прямоугольном треугольнике AQH \angle HAQ=30^{\circ},AQ=18, значит, QH=9.

Наконец, PH=PQ+QH=18+9=27.

ответ: б) 27.