Регистрация Спросить otvet5GPT
Violettik2006
21.11.2022 18:34
Алгебра
Есть ответ 👍

ПАМАГИТЕ СОЧ ПО МАТЕШЕ​

112
378
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

gimazova99
gimazova99
4,4(98 оценок)

$ \frac{a^3+b^6}{2}\geq   3ab^2-4;

вспоминаем неравенство коши

$\frac{a+b}{2}\geq   \sqrt{ab}

применяем:

$\frac{a^3+b^6}{2}\geq   \sqrt{a^3b^6}=|ab|^3\sqrt{a}=a|b|^3\sqrt{a}, (a> 0)

покажем, что правое выражение здесь не меньше правого выражения в исходном неравенстве, тогда правое выражение в исходном неравенстве тем более будет не меньше, чем левое в исходном.

это как если надо доказать, что a> b, мы доказали, что при a> c выполняется c> b, то точно a> b (транзитивность неравенств).

делаем это:

a|b|^3\sqrt{a}\geq 3ab^2-4; a|b|^3\sqrt{a}-3ab^2+4\geq   0; ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq   0

это неравенство аналогично неравенству t^2(t-3)+4\geq 0; t=|b|\sqrt{a}, t> 0

чтобы решить это неравенство, надо найти нули функции

f(t)=t^3-3t^2+4; , здесь сумма коэффициентов при нечетных степенях (1) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (-3+4=1), значит, t=-1 - корень. поделив уголком на t+1 или по схеме горнера, получим разложение t^3-3t^2+4=(t+1)(t^2-4t+4)=(t+1)(t-2)^2

теперь можно решать неравенство, при этом по методу интервалов, так как при t везде коэффициент равен 1, в самом правом промежутке будет "+", а в остальных случаях при переходе через нули будет чередоваться, кроме нулей четности, как здесь t=2 (2-я степень при скобке), знаки будут - + +

тогда (t-1)(t-2)^2\geq 0 \rightarrow t \in[-1; 2]\cup[2; +\infty) \rightarrow t \in [-1; +\infty)

но мы рассматриваем только t> 0, а там везде неравенство выполняется, значит, выполняется и неравенство ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq   0, то есть $\left \{ {{a|b|^3\sqrt{a}=\sqrt{a^3b^6}\geq   3ab^2-4} \atop {\frac{a^3+b^6}{2}\geq   \sqrt{a^3b^6} }} \right. \rightarrow \frac{a^3+b^6}{2} \geq   3ab^2-4

что и требовалось доказать (естественно, неравенство справедливо по условию с ограничением a> 0)

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS