Сократите дроби с объяснением:

пример

последовательность монотонно стремится к нулю, поэтому по признаку лейбница ряд сходится. найдем

выпишу формулу пусть . эйлер получил асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:

где значение

следовательно,

- последовательность частичных сумм данного ряда.

это мы показали что тот ряд равен ln 2. теперь перейдем к нашем .

[tex]1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}++\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}--\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}+\\ \\ \\ ++\dfrac{1}{4b-1}-/tex]

в силу примера, что мы показали в начале, мы получим

[tex]1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}++\dfrac{1}{2a-1}-\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}++\dfrac{1}{2b}\bigg)+\\ \\ \\ +\bigg(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}++\dfrac{1}{4b-1}\bigg)-/tex]

первые две скобки - ряда сходятся, теперь нужно показать что последнее тоже сходится.