решить методом Гаусса( только не через калькулятор)

Матричный вид записи: Ax=b, где

A=

2

0

2

2

3

0

2

2

4

9

2

2

0

4

3

3

5

5

2

9

0

3

0

2

3

, b=

3

1

1

3

3

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

2

2

0

4

3

1

3

5

5

2

9

3

0

3

0

2

3

3

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 1, умноженной на -1,-3/2 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

2

−2

2

0

−2

0

5

2

−1

9

2

−

3

2

0

3

0

2

3

3

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4,5 со строкой 2, умноженной на -1,-5/2,-3/2 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

−3

−11

−18

−4

0

0

−3

−4

−

21

2

3

2

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строки 4,5 со строкой 3, умноженной на -3/4,-3/4 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

0

−

19

2

−

45

4

−

7

4

0

0

0

−

5

2

−

15

4

15

4

Исключим элементы 4-го столбца матрицы ниже элемента a4,4. Для этого сложим строку 5 со строкой 4, умноженной на -5/19:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

0

−

19

2

−

45

4

−

7

4

0

0

0

0

−

15

19

80

19

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

1

0

1

1

3

2

3

2

0

1

1

2

9

2

1

2

0

0

1

1

2

9

4

3

4

0

0

0

1

45

38

7

38

0

0

0

0

1

−

16

3

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

1  x1

+

0  x2

+

1  x3

+

1  x4

+

3

2

 x5

=

3

2

0  x1

+

1  x2

+

1  x3

+

2  x4

+

9

2

 x5

=

1

2

0  x1

+

0  x2

+

1  x3

+

1

2

 x4

+

9

4

 x5

=

3

4

0  x1

+

0  x2

+

0  x3

+

1  x4

+

45

38

 x5

=

7

38

0  x1

+

0  x2

+

0  x3

+

0  x4

+

1  x5

=

−

16

3

Базисные переменные x1, x2, x3, x4, x5.

Имеем:

x1=

3

2

−1

· x3

−1

· x4

−

3

2

· x5

x2=

1

2

−1

· x3

−2

· x4

−

9

2

· x5

x3=

3

4

−

1

2

· x4

−

9

4

· x5

x4=

7

38

−

45

38

· x5

x5=

−

16

3

Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.

x1=

−

13

2

x2=

2

x3=

19

2

x4=

13

2

x5=

−

16

3

Решение в векторном виде:

x=

x1

x2

x3

x4

x5

=

−

13

2

2

19

2

13

2

−

16

3

1) а5> b     b5=a     a: 5=b 2) c8=d     d: 8=c