Алгебра: Докажите,что (n+1)(n+2)...(2n-1)*2n/1*3*5*...*(2n-1)=2^n

жанара06

22.02.2021 00:38

Алгебра

Есть ответ 👍

Докажите,что (n+1)(n+2)...(2n-1)2n/13*5...(2n-1)=2^n

270

419

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

bronebor

Алгебра

4,8(25 оценок)

$\dfrac{(n+1)(n+2)...(2n-1)*2n}{1*3*5*...*(2n-1)}=\dfrac{1*2*...*n*(n+1)(n+2)...(2n-1)*2n}{1*2*...*n*1*3*5*...*(2n-1)}=\dfrac{(2n)!}{n!*(2n-1)*(2n-1)}=\dfrac{(2n)}=\dfrac{(2n)}{n!*(2n-1)}{n!}=\dfrac{2*4*...*2n}{n!}=\\ =\dfrac{(2*1)*(2*2)*...*(2*n)}{n!}=\dfrac{(2*1)*(2*2)*...*(2*n)}{n!}=\\ =\dfrac{2^{\frac{2n-2}{2}+1}*1*2*...*n}{n!}=\dfrac{2^{n}n!}{n!}=2^n$

Ч.т.д.

_________

- двойной факториал: произведение всех натуральных чисел отрезка [1;x] четности, совпадающей с четностью x.

Свойство $k!=k,k\in N\backslash \{1\}$ очевидно (k и k-1 - последовательные натуральные числа, а значит они имеют разную четность, а значит один из сомножителей содержит все четные числа, а 2ой - все нечетные из отрезка [1;k], т.е. их произведение содержит все натуральные числа отрезка [1;k] по одному разу. А это и есть )

Пояснение к преобразованию (2n) : в этом выражении содержится произведение всех четных чисел отрезка [1;2n] , всего этих сомножителей $\dfrac{2n-2}{2}+1=n$ , причем k-ый из них представим в виде 2k=2*k . А тогда, вынеся из каждого сомножителя 2, и получим представление 2^n n!

AlinaZimina1

Алгебра

4,5(41 оценок)

корень 15x-6 корень 15x-6

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.