решить​(с подробным объяснением)

Пусть нам удалось включить наибольшее возможное  количество лампочек. рассмотрим конфигурацию лампочек и выключателей, которая получилась в результате переключений.  разобьем все выключатели на группы a и b. в первой группе находятся выключатели, которые переключали нечетное число раз, во второй находятся переключатели, переключенные четное число раз (или вообще не переключавшиеся). рассмотрим произвольную лампочку x между двумя выключателями из a. суммарно выключатели, смежные с этой лампочкой, переключались четное число раз (сумма двух нечетных чисел), поэтому в итоге лампочка окажется выключенной. аналогично, рассмотрим произвольную лампочку y между двумя выключателями из b. два смежных с ней выключателя также переключались четное число раз, поэтому лампочка в итоге тоже останется выключенной. теперь рассмотрим произвольную  лампочку z между двумя выключателями из разных групп. поскольку суммарно смежные с ней выключатели переключателись нечетное число раз, эта лампочка будет гореть. таким образом, гореть будут те и только те лампочки, которые находятся между переключателями из разных групп. пусть в группе a находится 10-k выключателей, а в группе b 10+k. тогда существует (10-k)(10+k) лампочек, на концах которых находятся выключатели из разных групп. таким образом, достаточно найти наибольшее возможное значение выражения  (10-k)(10+k)  при условии 0≤k≤10. очевидно,  (10-k)(10+k)=100-k²≤100. таким образом, одновременно могут гореть не более 100 лампочек. примечание: логичнее рассмотреть группы из k и 20-k лампочек, но тогда для нахождения максимального значения нужно брать производную, что выходит за рамки 9 класса.