На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?

нельзя

Пошаговое объяснение:

сто точек на окружности. Понятно, что взяв три любые три точки, и, соединив их отрезками, мы получим треугольник, например ABC (см. рис 1). Треугольников может быть много. А с учетом того, что одна и таже точка может одновременно принадлежать нескольким треугольникам, например точка В: ΔABC, ΔABD и ΔBCD, треугольников может быть очень много.

Но в задаче есть ограничения - треугольники должны быть прямоугольные. А как можно "найти" прямоугольные  треугольники,  все точки  которого лежат на окружности? Вспоминаем, что угол, с вершиной на окружности, который опирается на диаметр окружности - прямой.

Т.о. из всех возможных треугольников нас интересуют только те у котоых одна из сторон (гипотенуза) принадлежит диаметру окружности. Это, напнимер Δ ACD или Δ DEA т.к. AD - диаметр.

Итак, начинаем строить наши прямоугольные треугольники. Выбираем на окружности две точки так, чтобы они принадлежали диаметру (A и D

на рис.2). Сколько треугольников мы можем построить с этой общей стороной lADl (прямоугольных, как мы уже выяснили)? А вот же сколько точек осталось "не занятых", столко и построим. А сколько таких точек? 100 точек всего минус т.А и т.D равно 98 точек, значит и 98 треугольников на этом диаметре. На рис 2 эти точки так числами и обозначены (т.е. Δ A1D, Δ A2D, Δ A3D ... Δ A97D, Δ A98D.

Берем две другие точки, также лежащие на диаметре, например т.3 и т. 97 (рис.3). Повторяем построения, и добавляем к предыдущим 98 треугольника новые треугольники: Δ A 3 97, Δ 2 3 97, Δ 3 4 97 ... Δ 3 D 97... Δ 3 96 97, Δ 3 98 97.

Вобщем, очевидно, что каждый "диамет"р добавляет нам 98 треугольников.

Сколько будет таких "диаметров" мы можем выбирать сами. Можно расположить 100 точек на окружности так, что только одна пара будет лежать на диаметре (один из вариантов такого расположения приведен на рис.4), а можно расположить точки и так, что 50 пар лежат на 50 разных диаметрах. А сколько нам этих "диаметров" надо, чтобы получилось ровно 1000 треугольников?

Каждый "диаметр" добавляет 100-2=98 треугольников. Значит, чтобы получить 1000 треугольников надо 1000/98 "диаметров". 1000/98≈10,2 - нацело не делится, значит задача для 100 точек имеет ответ: нельзя!

Вот при 102 точках каждый "диаметр" будет добавлять 100 треугольников. И в этом случае необходимо 1000/100=10 пар точек, лежащих на различных диаметрах.