Существует ли выпуклый пятиугольник, углы которого равны 160 ,190 , 70 , 70 . 70 ответ обоснуйте.

Нету такого выпуклого многоугольника с развернутым углом 190 градусов

Ведь по определению выпуклым называется многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°. Это можно доказать и по другому. Проведем диагональ, которая соеденяет 2 вершины смежные с углом 190 градусов. Она вне многоугольника. Значит он не выпуклый

опять все просто - треугольник составлен из 2 "египетских" (точнее, ему подобных, со сторонами 9, 12 ,15, приставленных друг к другу катетами 12). 

поэтому высота 12, площадь 108, периметр 48, радиус вписанной окружности 2*108/48 = 9/2;

радиус описанной окружности можно найти по формуле r = abc/4s, это элементарно. продолжу-ка я высоту к стороне 18 за основание до пересечения с перпендикуляром к боковой стороне, проведенным через один из концов основания. получившийся треугольник вписанный в окружность прямоугольный треугольник, его гипотенуза - диаметр. из подобия треугольников легко получается

(2*r)/15   = 15/12; r = 225/24 = 75/8;

любопытно отметить, что 2*r = 72/8; то есть разница r - 2*r = 3/8 - маленькая. эта разность равна 0 в правильном треугольнике.